रेखाएँ और कोण (Lines and Angles)

ज्यामिति (Geometry) गणित की वह शाखा है जिसमें बिंदु, रेखाएँ, कोण, आकृतियाँ और उनके बीच के संबंधों का अध्ययन किया जाता है।
रेखाएँ और कोण ज्यामिति के बहुत महत्वपूर्ण आधार हैं। इस अध्याय में हम रेखा, रेखाखंड, किरण, प्रतिच्छेदी रेखाएँ और शीर्षाभिमुख कोणों के बारे में समझेंगे।

अध्याय :रेखाएँ और कोण

1. रेखा (Line)

रेखा बिंदुओं का एक सीधा समूह है, जो दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ती रहती है।

रेखा का कोई निश्चित प्रारंभिक या अंतिम बिंदु नहीं होता।

उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा पर दो बिंदु A और B हैं, तो इसे रेखा AB या रेखा BA लिखा जा सकता है।

रेखा का संकेत:
↔ AB

रेखा की विशेषताएँ

• रेखा दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ती जाती है।
• इसका कोई अंतिम बिंदु नहीं होता।
• रेखा की लंबाई निश्चित नहीं होती।
• किसी रेखा को दो बिंदुओं से नाम दिया जा सकता है।

उदाहरण: सड़क की सीधी दिशा को हम एक रेखा के रूप में समझ सकते हैं, हालांकि वास्तविक सड़क अनंत नहीं होती।

2. रेखाखंड (Line Segment)

रेखा का वह भाग जिसके दो निश्चित अंतिम बिंदु होते हैं, उसे रेखाखंड (Line Segment) कहते हैं।

यदि रेखाखंड के अंतिम बिंदु A और B हैं, तो इसे रेखाखंड AB लिखा जाता है।

रेखाखंड का संकेत:
A ───────── B

यहाँ A और B रेखाखंड के अंतिम बिंदु हैं।

रेखाखंड की विशेषताएँ

• इसके दो निश्चित अंतिम बिंदु होते हैं।
• इसकी लंबाई निश्चित होती है।
• इसे मापा जा सकता है।
• इसे दो अंतिम बिंदुओं के नाम से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: किसी स्केल की लंबाई को एक रेखाखंड के रूप में समझा जा सकता है।

3. किरण (Ray)

किसी रेखा का वह भाग जिसका एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु हो और जो दूसरी दिशा में अनंत तक बढ़ता जाए, उसे किरण (Ray) कहते हैं।

यदि किरण का प्रारंभिक बिंदु A है और वह B की दिशा में अनंत तक जाती है, तो इसे किरण AB लिखते हैं।

किरण का संकेत:
A ─────────────→ B

यहाँ A प्रारंभिक बिंदु है।

किरण की विशेषताएँ

• इसका केवल एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु होता है।
• यह एक दिशा में अनंत तक जाती है।
• इसकी कोई निश्चित लंबाई नहीं होती।
• किरण का नाम लिखते समय प्रारंभिक बिंदु को पहले लिखा जाता है।

याद रखें

आकृति	निश्चित बिंदु	किस दिशा में बढ़ती है?
रेखा	कोई नहीं	दोनों दिशाओं में
रेखाखंड	दो	नहीं बढ़ता
किरण	एक	एक दिशा में

---

हमारे साथ व्हाट्सप्प ग्रुप से जुड़े जहाँ आपको पढ़ाई और नौकरी से जुडी जानकारियों की अपडेट मिलती है |

Chapter : Lines and Angles के नोटस English Medium

4. प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines)

जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटती हैं, तो उन्हें प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines) कहते हैं।

जिस बिंदु पर दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, उसे प्रतिच्छेद बिंदु (Point of Intersection) कहते हैं।

उदाहरण:

यहाँ दोनों रेखाएँ O बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं। इसलिए ये प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं और O प्रतिच्छेद बिंदु है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं की विशेषताएँ

• दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती या काटती हैं।
• उनके मिलने वाले बिंदु को प्रतिच्छेद बिंदु कहते हैं।
• दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ चार कोण बनाती हैं।

उदाहरण: सड़क के चौराहे पर एक-दूसरे को काटती हुई दो सीधी सड़कें प्रतिच्छेदी रेखाओं को समझने का आसान उदाहरण हैं।

5. शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles)

जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो उनके प्रतिच्छेद बिंदु पर चार कोण बनते हैं।

इन चार कोणों में जो कोण एक-दूसरे के ठीक सामने होते हैं, उन्हें शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles) कहते हैं।

इसमें एक-दूसरे के सामने वाले कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं।

शीर्षाभिमुख कोणों का महत्वपूर्ण नियम

शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं।

अर्थात,

शीर्षाभिमुख कोण = शीर्षाभिमुख कोण

याद रखने की आसान ट्रिक

जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटें:

सामने-सामने वाले कोण = बराबर

लेकिन बगल-बगल वाले कोण शीर्षाभिमुख कोण नहीं होते।

संक्षिप्त पुनरावृत्ति

Topic	आसान परिभाषा
रेखा (Line)	दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ने वाली सीधी रेखा
रेखाखंड (Line Segment)	दो निश्चित अंतिम बिंदुओं वाली रेखा
किरण (Ray)	एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु से एक दिशा में अनंत तक जाने वाली रेखा
प्रतिच्छेदी रेखाएँ	जो दो रेखाएँ एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं
शीर्षाभिमुख कोण	प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने आमने-सामने के कोण

महत्वपूर्ण बातें याद रखें

1. रेखा की कोई निश्चित लंबाई नहीं होती।
2. रेखाखंड के दो अंतिम बिंदु होते हैं।
3. किरण का केवल एक प्रारंभिक बिंदु होता है।
4. दो रेखाएँ यदि एक बिंदु पर काटती हैं, तो वे प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।
5. प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले आमने-सामने के कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं।
6. शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं।